Инструкция к инструкции 7
Глава 1. Векторы 11
1.1. Вектор 12
1.2. Векторное произведение 14
1.3. Векторы и псевдовекторы 16
1.4. Прямая и плоскость 18
1.5. Линии в пространстве 20
1.6. Репер Френе 22
1.7. Что такое вектор? 24
Задачи 26
Глава 2. Векторный анализ 29
2.1. Градиент и оператор набла 30
2.2. Дивергенция, ротор и не только 32
2.3. Правила дифференцирования 34
2.4. Интегральные теоремы 36
2.5. Доказательства теорем 38
2.6. Дельта-функция Дирака 40
2.7. Потенциальные и соленоидальные поля 42
Задачи 44
Глава 3. Матрицы 47
3.1. Матрицы 48
3.2. Определитель 50
3.3. Обратная матрица 52
3.4. Работа с индексами 54
3.5. Символ Леви-Чевиты 56
3.6. Собственные значения 58
3.7. Матрица поворотов 60
Задачи 62
Глава 4. Криволинейные координаты 65
4.1. Полярные координаты 66
4.2. Криволинейный базис 68
4.3. Взаимный базис 70
4.4. Преобразования координат 72
4.5. Преобразование векторов 74
4.6. Тензоры 76
4.7. Приведение к главным осям 78
Задачи 80
Глава 5. Ковариантное дифференцирование 83
5.1. Символы Кристоффеля 84
5.2. Ковариантная производная 86
5.3. Геодезическая и параллельный перенос 88
5.4. Минимизация расстояния 90
5.5. Скорость и символы Кристоффеля 92
5.6. Криволинейный векторный анализ 94
5.7. Ортогональные координаты 96
Задачи 98
Глава 6. Дифференциальная геометрия 101
6.1. Поверхности в 3-мерном пространстве 102
6.2. Кривизна поверхности 104
6.3. Геометрия поверхности 106
6.4. Размерность пространства 108
6.5. Геометрия пространства 110
6.6. Тензор кривизны 112
6.7. Свойства тензора кривизны 114
Задачи 116
Глава 7. Дифференциальные формы 119
7.1. Формы 120
7.2. Замена координат 122
7.3. Внешнее дифференцирование 124
7.4. Криволинейное дифференцирование 126
7.5. Дуальные формы 128
7.6. Интегральные теоремы 130
7.7. Уравнения Картана 132
Задачи 134
Приложения 137
M: Векторы, тензоры и формы 137
M.1. Векторы и 1-формы 138
M.2. Тензоры как функции 140
M.3. Внешние формы и произведения 142
M.4. Многообразие 144
M.5. Касательные векторы 146
M.6. Градиент и площадь 148
M.7. Векторные поля 150
M.8. Производная Ли 152
Задачи 154
H: Помощь 157
H.1. Векторы 158
H.2. Векторный анализ 166
H.3. Матрицы 176
H.4. Криволинейные координаты 184
H.5. Ковариантное дифференцирование 192
H.6. Дифференциальная геометрия 206
H.7. Дифференциальные формы 228
H.8. Векторы, тензоры и формы 242
Литература 248
Математика в целом 248
Векторный и тензорный анализ 248
Дифференциальная геометрия 248
Геометрические аспекты физики 249
Предметный указатель 250
